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13-Introduction_of_Discrete_Probability

I Random Experiments & Probability Spaces

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Each element of the sample space is assigned a probability which tells us how likely the outcome is to occur when we actually perform the experiment.

Typically, a random experiment consists of drawing a sample of k elements from a set S of cardinality n.

A probability space is a sample space Ω, together with a probability P[ω] (often also denoted as Pr[ω]) for each sample point ω, such that

  • (Non-negativity): 0 ≤ P[ω] ≤ 1 for all ω ∈ Ω.
  • (Sum to 1): ∑ ω∈Ω P[ω] = 1, i.e., the sum of the probabilities over all outcomes is 1.

Formally, an event A made of some sample from Ω is just a subset of the sample space Ω, i.e., A ⊆ Ω

For any event A ⊆ Ω, we define the probability of A to be

\[ P[A]=\sum_{\omega \in A}P[\omega] \]

II Example

对于普通的古典概型大家在高中就已经学习过，不再涉及，这里记录几个比较有意思的例子：

II.1 Birthday Paradox（生日悖论）

比较长，就放张截图，但是结论就是，23 个人中，有两人同一天生日概率就是 50% 以上；60 个人中，有两人同一天生日的概率就达到了 99% ! !

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II.2 The Monty Hall Problem

详细内容可以自行搜索；概括就是：嘉宾 (contestant) 要进行三（A、B、C）选一获奖 (price) ，选择（假如选择了 A）过后主持人 (hoster) 告诉 ta 剩下两个中错误的那个（例如是 C），那么 ta 应该继续选择 A 还是改选 B 呢？对于有所选择的地方我们认为每种可能性相同：嘉宾最初的选择是随机的，如果嘉宾一开始选对了，则主持人从剩余两个门随机选取。

看起来，二者（A、B ）似乎并没有区别，毕竟只是将 C 排除了？

但是你看看，A 是最开始就选了的，\(\frac{1}{3}\) 没跑了；C 已经被排除了，概率肯定是 0；那你看看这个 B 的概率不就是 \(\frac{2}{3}\) 嘛。

那无疑，选 B。

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有点奇怪，但是……这个条件概率我们会在后面讲解；因为 hoster 排除错误的选项这个概率为 1 ，导致了概率的改变。

III Words

下面是一些常见的名词

  1. H(head)/T(tail) 硬币正 / 反面
  2. Coin 硬币
  3. Fair Coin 公平硬币
  4. Fair Dice 公平骰子
  5. Loaded Coin 作弊硬币
  6. Loaded Dice 作弊骰子
  7. Toss 抛掷
  8. Roll Die/Dice 掷骰子（后者为 pl）
  9. Heads 正面
  10. Tails 反面
  11. Side 面
  12. Face Value 面值
  13. Probability Space 概率空间
  14. Sample Space 样本空间
  15. Event 事件
  16. Outcomes 结果
  17. Equally Likely 等可能
  18. Combinations 组合
  19. Permutations 排列
  20. \((^{n}_{x}) := C^{x}_{n}\)
  21. Roulette 轮盘赌注

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