Physics2 problems
课堂 PPT 测试题 ¶
静电学 II ¶
[!QUESTION]
一块面积为 S 的金属大薄平板 A，带电量为 Q，在其附近平行放置另一块不带电的金属大薄平板 B，两板间距远小于板的线度。试求两板表面的电荷面密度，以及周围空间的场强分布。
A/B 内部场强为 0，取向右为正，故有：
\[
\begin{cases}
\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma_4}{2\varepsilon_0}=0 \quad A内部 \\ \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0}-\frac{\sigma_4}{2\varepsilon_0}=0\quad B 内部
\end{cases}
\]
[!QUESTION]
在内外半径分别为 R1 和 R2 的导体球壳内，有一个半径为 r 的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量 q 和 Q。试求：
㈠ 小球的电势 Ur，球壳内、外表面的电势； ㈡ 两球的电势差； ㈢ 若球壳接地，再次求小球与球壳的电势差。
小球整体等势，所以我们求小球中心的电势即可： \(U_r=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{q}{r}-\frac{q}{R_1}+\frac{q+Q}{R_2})\)
对于球壳表面，同样将电势叠加即可：\(U_{R_1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{q}{R_1}-\frac{q}{R_1}+\frac{q+Q}{R_2})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q+Q}{R_2} = U_{R_{2}}\)
故电势差为：\(U_r-U_{R_1}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}(\frac qr-\frac q{R_1})\) 可以发现电势差与 Q 无关
（三） 若球壳接地，外表面电荷为 0，内表面 -q；内外表面电势均为 0；
由 B 至接地，可以将其看作两个电容器并联：
\[
\begin{aligned}&U_{BA}=U_{BC}\to E_{BA}=2E_{BC}\to q_{B\text{上}}=2q_{B\text{下}}=\frac{2q}{3}\\&q_{A\text{下}}=-q_{B\text{上}}=-\frac{2q}{3},\:q_{C\text{上}}=-q_{B\text{下}}=-\frac{q}{3}\\ & C_{BA}=\varepsilon_0S/d,\:C_{BC}=\varepsilon_0S/2d,\to C=C_{BA}+C_{BC}=3\varepsilon_0S/2d\end{aligned}
\]
对于考试而言，把“极化”当作一个“场”，并记住极化强度是如何影响电荷面密度的即可。
